3 deskundige wenke vir die gebruik van die eenheidsirkel

funksie_wikimedia_eenheid_sirkel

As u trig of calculus studeer - of u gereed maak - moet u die eenheidsirkel leer ken. Die eenheidsirkel is 'n noodsaaklike instrument wat gebruik word om die sinus, cosinus en raaklyn van 'n hoek op te los. Maar hoe werk dit? En watter inligting moet u weet om dit te gebruik?

In hierdie artikel verduidelik ons ​​wat die eenheidsirkel is en waarom u dit moet weet. Ons gee u ook drie wenke om u te onthou hoe u die eenheidsirkel gebruik.



Funksiebeeld: Gustavb / Wikimedia

Die eenheidsirkel: 'n basiese inleiding

Die eenheidsirkel is 'n sirkel met 'n radius van 1. Dit beteken dat die lengte van die lyn vir enige reguit lyn wat vanaf die middelpunt van die sirkel na enige punt langs die rand van die sirkel getrek word, altyd gelyk sal wees aan 1. (Dit beteken ook dat die deursnee van die sirkel 2 die deursnee is gelyk aan twee keer die lengte van die radius.)

Tipies, die middelpunt van die eenheidsirkel is waar die x-as en y-as mekaar sny, of by die koördinate (0, 0):

body_wikimedia_unit_circle

Die eenheidsirkel, of trig-sirkel soos dit ook bekend staan, is handig om te weet omdat dit laat ons maklik die cosinus, sinus en raaklyn bereken van enige hoek tussen 0 ° en 360 ° (of 0 en 2π radiale).

Universiteit van Hartford het punte behaal

Soos u in die bostaande diagram kan sien, sal u 'n regte driehoek skep deur 'n radius onder enige hoek (met marked in die afbeelding gemerk) te teken. In hierdie driehoek is die cosinus die horisontale lyn en die sinus die vertikale lyn. Met ander woorde, kosinus =x-koördineer, en sinus = y-koördinaat. (Die driehoek se langste lyn, of skuinssy, is die radius en is dus gelyk aan 1.)

Waarom is dit alles belangrik? Onthou dat u die lengtes van die sye van 'n driehoek kan oplos met behulp van die Stelling van Pythagoras, of $ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $ (waarin aan en b is die lengtes van die sye van die driehoek, en c is die lengte van die skuinssy).

Ons weet dat die cosinus van 'n hoek gelyk is aan die lengte van die horisontale lyn, die sinus is gelyk aan die lengte van die vertikale lyn en die skuinssy gelyk aan 1. Daarom kan ons sê dat die formule vir enige regte driehoek in die eenheidsirkel is as volg:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 ^ 2 $$

Aangesien $ 1 ^ 2 = 1 $, kan ons hierdie vergelyking so vereenvoudig:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 $$

Wees bewus daarvan hierdie waardes kan negatief wees afhangend van die gevormde hoek en in watter kwadrant die x- en y-koördinate val (ek sal dit later in meer besonderhede verduidelik).

Hier is 'n oorsig van alle hoofhoeke in grade en radiale op die eenheidsirkel:

liggaamseenheid_kring_grade

Eenheidsirkel - grade

liggaamseenheid_kringradiale

Eenheidsirkel - Radiale

Maar sê nou daar is geen driehoek gevorm nie? Kom ons kyk na wat gebeur as die hoek 0 ° is, wat 'n horisontale reguit lyn langs die x-as skep:

liggaamseenheid_kring_cos_1_sin_0

Op hierdie lyn is die x-koördinaat gelyk aan 1 en die y-koördinaat gelyk aan 0. Ons weet dit die kosinus is gelyk aan die x-koördinaat, en die sinus is gelyk aan die y-koördinaat, sodat ons dit kan skryf:

  • $ cos0 ° = 1 $
  • $ sin0 ° = 0 $

Wat as die hoek 90 ° is en 'n perfek vertikale lyn langs die y-as maak?

liggaamseenheid_kring_kos_0_sin_1

Hier kan ons sien dat die x-koördinaat gelyk is aan 0 en die y-koördinaat gelyk aan 1. Dit gee ons die volgende waardes vir sinus en kosinus:

  • $ cos90 ° = 0 $
  • $ sin90 ° = 1 $

liggaam_ken_jou vyand Hierdie slagspreuk is beslis van toepassing as u nie 'n wiskundeliefhebber is nie.



Waarom u die eenheidsirkel moet ken

Soos hierbo gesê, is die eenheidsirkel nuttig omdat dit stel ons in staat om die sinus, cosinus of raaklyn van enige graad of radiaal maklik op te los. Dit is veral handig om die eenheidsirkelgrafiek te ken as u sekere trigonometriese waardes vir wiskunde-huiswerk moet oplos, of as u voorberei om die calculus te studeer.

Maar hoe kan u die eenheidsirkel ken? Gestel jy het die volgende probleem tydens 'n wiskundetoets - en is nie toegelaat word om 'n sakrekenaar te gebruik om dit op te los:

$$ sin30 ° $$

Waar begin jy? Kom ons kyk weer na die eenheidsirkelkaart - hierdie keer met alle hoofhoeke (in beide grade en radiale) en hul ooreenstemmende koördinate:

body_wikimedia_unit_circle_complete_chart Jim.belk / Wikimedia

Moenie oorweldig word nie! Onthou, al waarvoor u oplos, is $ sin30 ° $. Deur na hierdie grafiek te kyk, kan ons dit sien die y-koördinaat is gelyk aan $ 1/2 $ by 30 °. En aangesien die y-koördinaat gelyk is aan sinus, is ons antwoord soos volg:

$$ sin30 ° = 1/2 $$

Maar sê nou u kry 'n probleem wat radiale gebruik in plaas van grade? Die oplossing vir die oplossing daarvan is nog steeds dieselfde. Sê byvoorbeeld dat u 'n probleem het wat so lyk:

$$ cos {{3π} / 4} $$

Weereens, met behulp van die bostaande grafiek, kan ons sien dat die x-koördinaat (of cosinus) vir $ {3π} / 4 $ (wat gelyk is aan 135 °) $ - {√2} / 2 $ is. Hier is hoe ons antwoord op hierdie probleem sou lyk:

$$ cos ({3π} / 4) = - {√2} / 2 $$

Dit alles is redelik maklik as u die sirkelgrafiek hierbo het om as verwysing te gebruik. Maar meestal (indien nie almal nie), sal dit nie die geval wees nie, en daar sal van u verwag word om hierdie tipe wiskundevrae slegs met u brein te beantwoord.

Hoe kan jy die eenheidsirkel onthou? Lees verder vir ons beste wenke!

Hoe om die eenheidsirkel te onthou: 3 noodsaaklike wenke

In hierdie afdeling gee ons u beste wenke om die trig-sirkel te onthou, sodat u dit met gemak kan gebruik vir enige wiskundeprobleem wat dit benodig.

liggaam_onthou_nota Ek sal nie aanbeveel om die eenheidsirkel met post-its te oefen nie, maar hey, dit is 'n begin.

# 1: Memoriseer algemene hoeke en koördinate

U moet die eenheidsirkel effektief gebruik memoriseer die mees algemene hoeke (in beide grade en radiale) sowel as hul ooreenstemmende x- en y-koördinate.

Die diagram hierbo is 'n handige eenheidsirkelkaart om na te kyk, aangesien dit alle hoofhoeke in beide grade en radiale bevat, benewens hul ooreenstemmende koördinaatpunte langs die x- en y-as.

Hier is 'n tabel met dieselfde inligting in tabelvorm:

wat yin en yang is
Hoek (grade) Hoek (Radiale) Koördinate van Point on Circle
0 ° / 360 ° 0 / 2π (1, 0)
30 ° $ π / 6 $ $ ({√3} / 2, 1/2) $
45 ° $ π / 4 $ $ ({√2} / 2, {√2} / 2) $
60 ° $ π / 3 $ $ (1/2, {√3} / 2) $
90 ° $ π / 2 $ (0, 1)
120 ° $ {2π} / 3 $ $ (- 1/2, {√3} / 2) $
135 ° $ {3π} / 4 $ $ (- {√2} / 2, {√2} / 2) $
150 ° $ {5π} / 6 $ $ (- {√3} / 2, 1/2) $
180 ° PI (-1, 0)
210 ° $ {7} / $ 6 $ (- {√3} / 2, -1/2) $
225 ° $ {5π} / 4 $ $ (- {√2} / 2, - {√2} / 2) $
240 ° $ {4π} / 3 $ $ (- 1/2, - {√3} / 2) $
270 ° $ {3π} / 2 $ (0, -1)
300 ° $ {5π} / 3 $ $ (1/2, - {√3} / 2) $
315 ° $ {7π} / 4 $ $ ({√2} / 2, - {√2} / 2) $
330 ° $ {11π} / 6 $ $ ({√3} / 2, -1/2) $

Alhoewel u meer as welkom is om al hierdie koördinate en hoeke te probeer memoriseer, is dit wel baie van dinge om te onthou.

Gelukkig is daar 'n truuk wat u kan gebruik om u te help om die belangrikste dele van die eenheidsirkel te onthou.

Kyk na die koördinate hierbo en u sien 'n duidelike patroon: alle punte (uitgesonderd by 0 °, 90 °, 270 ° en 360 °) wissel tussen net drie waardes (positief of negatief):

  • $ 1 / $ 2
  • $ {√2} / 2 $
  • $ {√3} / 2 $

Elke waarde stem ooreen met 'n kort, medium of lang lyn vir beide cosinus en sinus:

liggaam_eenheid_sirkel_kos_lyne

liggaam_eenheid_sirkel_sin_lyne

Dit is wat hierdie lengtes beteken:

  • Kort horisontale of vertikale lyn = $ 1 / $ 2
  • Medium horisontale of vertikale lyn = $ {√2} / 2 $
  • Lang horisontale of vertikale lyn = $ {√3} / 2 $

As u byvoorbeeld $ cos {π / 3} $ probeer oplos, moet u dadelik weet dat hierdie hoek (wat gelyk is aan 60 °) aandui 'n kort horisontale lyn op die eenheidsirkel. Daarom, sy ooreenstemmende x-koördinaat moet gelyk wees aan $ 1/2 $ ('n positiewe waarde, aangesien $ π / 3 $ 'n punt in die eerste kwadrant van die koördinaatstelsel skep).

Ten slotte, hoewel dit nuttig is om al die hoeke in die tabel hierbo te memoriseer, moet u daarop let verreweg die belangrikste hoeke om te onthou is die volgende:

  • 30 ° / $ π / 6 $
  • 45 ° / $ π / 4 $
  • 60 ° / $ π / 3 $

liggaamspositiewe_negatiewe_kabels Behandel u negatiewe en positiewe aspekte soos kabels wat u kan doodmaak as u verkeerd aansluit.

# 2: Leer wat negatief is en wat positief is

Dit is van kritieke belang om positiewe en negatiewe x- en y-koördinate te kan onderskei sodat u die regte waarde vir 'n trig-probleem vind. Ter herinnering, in of 'n koördinaat op die eenheidsirkel positief of negatief is, hang af van watter kwadrant (I, II, III of IV) die punt val onder:

liggaamseenheid_kring_kwadrante

Hier is 'n grafiek wat wys of 'n koördinaat positief of negatief sal wees, gebaseer op die kwadrant waarin 'n spesifieke hoek (in grade of radiale) is:

Kwadrant X-Coördinate (Cosine) Y-koördinaat (sinus)
Ek + +
yl - +
III - -
IV + -

Sê byvoorbeeld dat u die volgende probleem op 'n wiskundetoets kry:

$$ cos210 ° $$

Voordat u dit selfs probeer oplos, moet u kan besef dat die antwoord sal wees 'n negatiewe getal aangesien die hoek 210 ° in kwadrant III val (waar x-koördinate is altyd negatief).

Met behulp van die truuk wat ons in tip 1 geleer het, kan u agterkom dat 'n hoek van 210 ° geskep word 'n lang horisontale lyn. Daarom is ons antwoord soos volg:

$$ cos210 ° = - {√3} / 2 $$

# 3: Weet hoe om vir tangent op te los

Laastens is dit noodsaaklik om te weet hoe om al hierdie inligting oor die trig-sirkel en sinus en cosinus te gebruik om in staat te wees om los die raaklyn van 'n hoek op.

In trig, om die raaklyn van 'n hoek find (in grade of radiale) te vind, gebruik u eenvoudig deel die sinus deur die kosinus:

$$ tanθ = { sinθ} / { cosθ} $$

Sê byvoorbeeld dat u die probleem probeer beantwoord:

$$ tan300 ° $$

Die eerste stap is om 'n vergelyking op te stel in terme van sinus en cosinus:

$$ tan300 ° = { sin300 °} / { cos300 °} $$

Om die raaklyn op te los, moet ons die sinus vind en kosinus van 300 °. U moet vinnig kan besef dat die hoek 300 ° in die vierde kwadrant val, wat beteken die kosinus, of x-koördinaat, sal positief wees, en die sinus, of y-koördinaat, sal negatief wees.

U moet dit ook dadelik weet die hoek 300 ° skep 'n kort horisontale lyn en 'n lang vertikale lyn. Daarom sal die cosinus (die horisontale lyn) gelyk wees aan $ 1/2 $, en die sinus (die vertikale lyn) sal gelyk wees aan $ - {√3} / 2 $ ('n negatiewe y-waarde, aangesien hierdie punt in kwadrant IV is) .

Om die raaklyn te vind, is dit net om aan te sluit en op te los:

$$ tan300 ° = {- {√3} / 2} / {1/2} $$

$$ tan300 ° = -√3 $$

liggaamskat_praktiseringsgolf Tyd om u wiskundevaardighede aan te spreek!

Eenheidsirkel-oefenvraestel

Noudat u weet hoe die eenheidsirkel daar uitsien en hoe u dit kan gebruik, moet u dit wat u geleer het met enkele oefenprobleme toets.

Vrae

  1. $ sin45 ° $
  2. $ cos240 ° $
  3. $ cos {5π} / 3 $
  4. $ tan {2π} / 3 $

Antwoorde

  1. $ {√2} / 2 $
  2. $ -1 / $ 2
  3. $ 1 / $ 2
  4. $ -√3 $

Beantwoord Verduidelikings

# 1: $ sin45 ° $

Met hierdie probleem is daar twee inligting wat u dadelik kan identifiseer:

  • Die antwoord sal positief wees, aangesien die hoek 45 ° in kwadrant I is, en die sinus van 'n hoek gelyk is aan die y-koördinaat
  • Die hoek 45 ° skep 'n gemiddelde lengte vertikale lyn (vir hulle)

Aangesien 45 ° 'n positiewe, mediumlengte lyn aandui, die korrekte antwoord is $ {√2} / 2 $.

As u nie seker is hoe u dit moet uitvind nie, teken 'n diagram om u te help bepaal of die lengte van die lyn kort, medium of lank sal wees.

sit vraag- en antwoorddiens

# 2: $ cos240 ° $

Soos met probleem 1 hierbo, is daar twee inligting wat u vinnig met hierdie probleem kan verstaan:

  • Die antwoord sal negatief wees, aangesien die hoek 240 ° in kwadrant III is, en die kosinus van 'n hoek gelyk is aan die x-koördinaat
  • Die hoek 240 ° skep 'n kort horisontale lyn (vir kosinus)

Aangesien 240 ° 'n negatiewe, kort lyn aandui, die korrekte antwoord is $ -1 / 2 $.

# 3: $ cos {5π} / 3 $

Anders as die probleme hierbo, word hierdie probleem gebruik radiale in plaas van grade. Alhoewel dit die probleem moeiliker kan maak om op te los, gebruik dit in werklikheid dieselfde basiese stappe as die ander twee probleme.

Eerstens moet u herken dat die hoek $ {5π} / 3 $ in kwadrant IV is, dus die x-koördinaat, of kosinus, sal wees 'n positiewe getal. U moet dit ook kan vertel$ {5π} / 3 $skep 'n kort horisontale lyn.

Dit gee u genoeg inligting om dit te bepaal die antwoord is $ 1/2 $.

# 4: $ tan {2π} / 3 $

Hierdie probleem handel oor raaklyn in plaas van sinus of cosinus, wat beteken dat dit 'n bietjie meer wiskunde aan ons kant sal verg. Eerstens, onthou die basiese formule om raaklyn te vind:

$$ tan θ = { sin θ} / { cos θ} $$

Kom ons neem nou die graad wat ons gekry het - $ {2π} / 3 $—En steek dit in hierdie vergelyking:

$$ tan {2π} / 3 = { sin {2π} / 3} / { cos {2π} / 3} $$

U moet nou die sinus en cosinus afsonderlik kan oplos met behulp van wat u oor die eenheidsirkel gememoriseer het. Aangesien die hoek $ {2π} / 3 $ in kwadrant II is, die x-koördinaat (of kosinus) sal negatief wees en die y-koördinaat (of sinus) positief.

Vervolgens moet u kan bepaal op grond van die hoek alleen wat die horisontale lyn is 'n kort reël, en die vertikale lyn is 'n lang ry. Dit beteken dat die cosinus gelyk is aan $ -1 / 2 $, en die sinus is gelyk aan $ {√3} / 2 $.

Noudat ons hierdie waardes vasgestel het, hoef ons dit net in ons aanvanklike vergelyking aan te sluit en die raaklyn op te los:

$$ tan {2π} / 3 = {{√3} / 2} / {- 1/2} $$

$$ tan {2π} / 3 = -√3 $$

Interessante Artikels

Beste skole in CA | Ranglys en statistieke van die hoërskool Abraham Lincoln

Vind staatsranglys, SAT/ACT -tellings, AP -klasse, onderwyserswebwerwe, sportspanne en meer oor Abraham Lincoln Senior High School in Los Angeles, CA.

Werk spoedlees?

Nuuskierig oor spoedlees? Ons verduidelik die wetenskap daaragter, asook hoe om vinnig te lees.

Toelatingsvereistes vir Universiteit van Noord-Iowa

Toelatingsvereistes aan die Universiteit van Missouri - Columbia

Toelatingsvereistes van die Universiteit van Vermont

SAT -tellings en GPA van die Howard -universiteit

Toelatingsvereistes van die Alfred Universiteit

Hierdie jaar se UVA ACT-tellings en GPA

Universiteit van Toledo SAT -tellings en GPA

Die 31 kolleges met die beste finansiële hulp

Op soek na finansiële hulp van kolleges? Hier is 'n lys van die kolleges met die beste finansiële hulp in die land, sodat u sonder skuld kan afstudeer.

SUNY -wenke vir aansoeke: hoe om aansoek te doen, sperdatums en meer

Vrae oor u SUNY -toepassing? Kyk na ons volledige gids vir wanneer en hoe om aansoek te doen by SUNY -skole, plus wenke oor hoe om op te staan ​​onder aansoekers.

MAKLIKE verduideliking: alle faktore van 45

Wat is die faktore van 45? Ons lys al 45 faktore en verduidelik die tegnieke wat u kan gebruik om hierdie en ander faktore te vind.

Vygotsky -steierwerk: wat dit is en hoe om dit te gebruik

Wat is Vygotsky -steierwerk? Leer die oorsprong van hierdie opvoedingsteorie, hoe dit verband hou met die gebied van proksimale ontwikkeling, en hoe om dit in die klaskamer te gebruik.

Toelatingsvereistes van die Universiteit van Saint Joseph

12 beste kunsskole ter wêreld

Ons het 'n lys van die 12 beste kunsskole ter wêreld nagekom, asook advies oor hoe om die beste kunsskool vir u te kies.

Beste skole in CA | William Howard Taft Charter High School Rankings en statistieke

Vind staatsranglys, SAT/ACT -tellings, AP -klasse, onderwyserswebwerwe, sportspanne en meer oor William Howard Taft Charter High School in Woodland Hills, CA.

Hoërskool John C. Kimball | 2016-17-ranglys | (Tracy,)

Vind staatsranglyste, SAT / ACT-tellings, AP-klasse, webwerwe vir onderwysers, sportspanne en meer oor John C. Kimball High School in Tracy, CA.

Moet u die SAT neem vir gemeenskapskolleges?

As u aansoek doen by die gemeenskapskollege, moet u die SAT neem en 'n telling kry? Dit hang af van u situasie. Vind uit of u die SAT hier moet neem.

Hoe werk AP -krediet by kolleges

Hoe werk AP Credit vir universiteitskursusse? Kan u 'n jaar kollege- of intro -universiteitskursusse met u AP -klasse oorslaan? Vind die besonderhede uit.

UNCG SAT-tellings en GPA

Toelatingsvereistes vir Cooper Union

Beste skole in CA | Ernest Righetti se ranglys en statistieke

Vind staatsranglys, SAT/ACT -tellings, AP -klasse, onderwyserswebwerwe, sportspanne en meer oor die Ernest Righetti High School in Santa Maria, CA.

Wat is dinamiese ewewig? Definisie en voorbeelde

Op soek na 'n nuttige dinamiese ekwilibrium definisie? Ons verduidelik alles wat u oor hierdie belangrike chemie-konsep moet weet, met maklike navolging van dinamiese ewewigsvoorbeelde.

2016-17 Akademiese gids | Hoërskool James Monroe

Vind staatsranglys, SAT / ACT-tellings, AP-klasse, webwerwe vir onderwysers, sportspanne en meer oor die James Monroe High School in North Hills, CA.

Beste skole in CA | Summit High School Rankings en statistieke

Vind staatsranglys, SAT/ACT -tellings, AP -klasse, onderwyserswebwerwe, sportspanne en meer oor Summit High School in Fontana, CA.