Hoe om met dele te integreer: formule en voorbeelde

funksie_integrasieonderdele

Antiderivatiewe kan moeilik genoeg wees om op hul eie op te los, maar as u twee funksies vermenigvuldig wat u die antiderivatief moet neem, kan dit moeilik wees om te weet waar om te begin. Dit is waar die integrasie volgens dele -formule inkom!

Hierdie handige formule kan u berekening van u huiswerk baie makliker maak deur u te help om antiderivatiewe te vind wat andersins moeilik en tydrowend sou wees om uit te werk. In hierdie gids verduidelik ons ​​die formule, lei u deur elke stap wat u moet neem om deur dele te integreer, en los voorbeeldprobleme op, sodat u self 'n integrasie kan word deur onderdeelkenner.



Wat is die integrasie volgens onderdele -formule?

Integrasie deur dele is 'n tegniek wat in die berekening gebruik word om die integraal van 'n produk van funksies te vind in terme van die integrale van hul afgeleide en antiderivatiewe. As u 'n vergelyking met die antiderivatief het, twee funksies wat saam vermenigvuldig word en u nie weet hoe u die antiderivatief moet vind nie, verander die formule integrasie deur dele die antiderivatief van die funksies in 'n ander vorm, sodat dit makliker is om die vereenvoudigde te vind /oplos. Hier is die formule:

∫ f (x) g ’(x) dx = f (x) g (x) - ∫ f’ (x) g (x) dx

U begin met die linkerkant van die vergelyking (die antiderivatief van die produk van twee funksies) en verander dit na die regterkant van die vergelyking.

Die integrasie volgens dele -formule kan ook meer kompak geskryf word, met u vervang deur f (x), v vervang deur g (x), dv vervang deur g '(x) en du vervang deur f' (x):

Dv u dv = uv - ∫ v du

U kan integrasie volgens dele gebruik wanneer u die antiderivatief van 'n ingewikkelde funksie moet vind wat moeilik is om op te los sonder om dit in twee funksies vermenigvuldig te verdeel. Dit lyk aanvanklik miskien nie na 'n ongelooflike bruikbare formule nie, aangesien geen van die kante van die vergelyking aansienlik meer vereenvoudig is as die ander nie, maar as ons voorbeelde deurwerk, sal u sien hoe nuttig die integrasie volgens dele -formule kan wees om antiderivatiewe op te los.

Hoe om probleme op te los met behulp van integrasie deur dele

Daar is vyf stappe om 'n probleem op te los met behulp van die integrasie volgens dele formule:

#1: Kies u en v

#2: Differensieer u tot Find du

#3: Integreer v om ∫v dx te vind

#4: Koppel hierdie waardes in die integrasie volgens onderdeelvergelyking

#5: Vereenvoudig en los op

Dit lyk miskien ingewikkeld om met dele te integreer, maar die gebruik van die formule is eintlik redelik eenvoudig. Die eerste drie stappe het alles te doen met die keuse/vind van die verskillende veranderlikes, sodat hulle in stap vier by die vergelyking ingeskakel kan word. U moet deeglik weet hoe om te onderskei en te integreer, maar as u dit doen, is hierdie stappe maklik.

Oor die algemeen is u doelwit vir van eenvoudiger as u en vir die antiderivatief van jou nie ingewikkelder as v . Eintlik wil u hê dat die regte kant van die vergelyking so eenvoudig as moontlik moet bly om dit makliker te maak om te vereenvoudig en op te los. Moenie te veel stres oor die keuse van u en v. As u eerste keuses nie werk nie, verander dit dan en integreer dit in dele met u nuwe u en v om te sien of dit beter werk.

As u eers u veranderlikes het, hoef u net te vereenvoudig totdat u nie meer antivirasie -middels het nie, en jy het jou antwoord! Lees verder om te sien hoe ons hierdie stappe gebruik om werklike voorbeeldprobleme op te los.

body_isaacnewton

Integrasie deur onderdele Voorbeelde

Hier is drie voorbeeldprobleme van verskillende moeilikheidsgraad. Probeer om elkeen self op te los, en kyk hoe ons integrasie volgens dele gebruik het om die regte antwoord te kry.

Voorbeeld #1: Vind ∫ xsin (x) dx

As u net na hierdie probleem kyk, het u miskien geen idee hoe u die antiderivatief van xsin (x) moet gebruik nie. Dit is waar integrasie deur onderdele inkom! Die eerste stap is om u u en jou . Met x as u , dit is maklik om te kry van , so laat ons daar begin.

u = x

dv = sonde (x)

° c tot ° f

Vir stap 2 en 3 sal ons onderskei u en integreer jou om te kry van en v . Die afgeleide van x is dx (maklik!) En die antiderivatief van sin (x) is -cos (x).

van = dx

v = kos (x)

Nou is dit tyd om die veranderlikes aan te sluit by die formule vir integrasie volgens dele: dv u dv = uv - ∫ v du. Dit gee ons:

∫ xsin (x) dx = x (-cos (x)) -∫ -cos (x) dx

Werk vervolgens aan die regterkant van die vergelyking om dit te vereenvoudig. Versprei eers die negatiewe:

= -xcos (x) + ∫ cos (x) dx

Die antiderivatief van cos (x) is sonde (x), en moenie vergeet om die willekeurige konstante, C, aan die einde by te voeg nie:

= -xcos (x) + sin (x) + C

Dit is dit, u het die antiderivatief gevind!


Voorbeeld #2: Vind ∫ x2In (x) dx

Weereens, eers kies ons a u en a jou .

u = ln (x)

dv = x2

Dan sal ons die inligting gebruik om te bepaal van en v . Die afgeleide van ln (x) is (1/x) dx, en die antiderivatief van x2is (⅓) x3.

van = (1/x) dx

v = (⅓) x3

wat beteken yin en yang

Noudat ons al die veranderlikes het, laat ons hulle by die integrasie volgens delevergelyking aansluit:

∫x2ln (x) dx = ln (x) ⋅ (⅓) x3−∫ (⅓) x3⋅ (1/x) dx

Al wat nou oorbly, is om te vereenvoudig! Vermenigvuldig eers alles:

= (x3ln (x))/3 - ∫x2/3 dx

Neem dan die antiderivatief van ∫x2/3. Voeg die konstante by, en jy is klaar; daar is nie meer antiderivatiewe in die vergelyking oor nie:

= (x3ln (x))/3 - (1/9) x3+ C

Voorbeeld #3: Vind ∫ ex sin (x) dx

Kies weer 'n u en a jou :

u = sonde (x)

dv = voormalige

Vind van en v (die afgeleide van sin (x) is cox (x) en die antiderivatief van ex is nog net ex.

van = want (x)

v = voormalige

Voer die veranderlikes in die vergelyking in:

∫ex sin (x) dx = sin (x) ex -∫cos (x) ex dx

Dinge is nog steeds redelik deurmekaar, en die ∫cos (x) ex dx deel van die vergelyking het nog twee funksies wat saam vermenigvuldig word. Soms, as u die formule vir integreer deur dele gebruik en dinge net so ingewikkeld lyk as voorheen, met twee funksies wat saam vermenigvuldig is, kan dit help om weer integrasie deur dele te gebruik. Kom ons probeer dit.

Fokus net op die ∫cos (x) ex dx deel van die vergelyking, en kies 'n ander een u en jou . Die afgeleide van cos (x) is -sin (x), en die antiderivatief van ex is nog steeds ex (dit is maklik!).

u = want (x)

dv = voormalige

van = sonde (x)

v = voormalige

Koppel hierdie nuwe veranderlikes weer in die formule:

∫ex sin (x) dx = sin (x) ex - (cos (x) ex −∫ - sin (x) ex dx)

Vereenvoudig nou:

∫ex sin (x) dx = ex sin (x) - ex cos (x) −∫ ex sin (x) dx

Ons kan die −∫ ex sin (x) dx van die regterkant van die vergelyking na links skuif:

2∫ex sin (x) dx = ex sin (x) - ex cos (x)

Vereenvoudig dit weer en voeg die konstante by:

∫ex sin (x) dx = ex (sin (x) - cos (x)) / 2 + C

Daar is nie meer antiderivatiewe aan die regterkant van die vergelyking nie, so daar is u antwoord! Ons kon die antiderivatief van die morsige vergelyking vind deur twee keer die formule vir integrasie deur dele deur te werk.

liggaam_telling

Opsomming: Hoe om volgens dele te integreer

Die formule vir integrasie volgens dele kan 'n uitstekende manier wees om die antiderivatief te vind van die produk van twee funksies waarvan u andersins nie sou weet hoe u die antiderivatief moet gebruik nie. U moet deeglike kennis hê van afgeleides en antiderivatiewe om dit te kan gebruik, maar dit is 'n eenvoudige formule wat u kan help om verskillende wiskundige probleme op te los. Die stappe is:

#1: Kies u en v

hoe om 'n goeie analise-opstel te skryf

#2: Differensieer u tot Find du

#3: Integreer v om ∫v dx te vind

#4: Koppel hierdie waardes in die integrasie volgens onderdeelvergelyking

#5: Vereenvoudig en los op

Interessante Artikels

Providence College SAT-tellings en GPA

810 SAT -telling: is dit goed?

Interdissiplinêre studies: wat is dit? Moet u 'n graad behaal?

Wat is interdissiplinêre studies? Is dit 'n goeie hoofvak vir jou? Ontdek die definisie van interdissiplinêre studies en moontlike werksgeleenthede met ons volledige gids.

Toelatingsvereistes vir Cal State-Oosbaai

Toelatingsvereistes aan die Jacksonville Universiteit

Enneagram Type 7: The Enthusiast

Is u 'n Enneagram tipe 7? Leer hoe om te vertel, watter loopbane vir u geskik is, en hoe Enneagram 7's in verhoudings lyk.

Toelatingsvereistes vir die Delaware State University

SAT -tellings en GPA van Thiel College

Toelatingsvereistes van die Universiteit van Seattle

Wat is die gemiddelde SAT -telling?

Wat is die gemiddelde SAT -telling in die hele land? Volgens geslag en etnisiteit? Vind hier uit en leer watter SAT -gemiddelde eintlik vir u belangrik is.

Besluitdag van die kollege: hoe om kolleges in kennis te stel

Weet u nie hoe u u kollege in kennis stel dat u van plan is om by te woon nie? Ons lei u deur die proses, asook hoe u ander skole van die hand kan wys.

Faulkner Universiteit Toelatingsvereistes

Ohio State University by Marion Toelatingsvereistes

Beste skole in CA | Ranglys en statistieke op die hoërskool Carson

Vind staatsranglys, SAT/ACT -tellings, AP -klasse, onderwyserswebwerwe, sportspanne en meer oor Carson Senior High School in Carson, CA.

Universiteit van Utah SAT-tellings en GPA

Die beste HiSET -oefeningstoetse om u eksamen te help slaag

Op soek na HiSET -oefening? Kyk na ons lys gratis HiSET -oefentoetse en kry wenke oor hoe u dit kan gebruik om te studeer.

Die volledige gids vir AP-omgewingswetenskaplike FRQ's

Sukkel jy met AP Environmental Science FRQ's? Ons verduidelik alles wat u moet weet oor die afdeling vir gratis reaksie, met punte, voorbeelde en belangrike wenke.

Toelatingsvereistes vir Kalifornië Universiteit van Pennsylvania

Oorgangsvrae oor SAT -skryfwerk: wenke en voorbeelde

Verward oor SAT -oorgangsvrae? Ons verduidelik presies hoe om die mees algemene tipe SAT -skryfvraag te benader, met nuttige wenke en strategieë.

Hoërskool Troy | 2016-17 Ranglys | (Fullerton,)

Vind staatsranglys, SAT/ACT -tellings, AP -klasse, onderwyserswebwerwe, sportspanne en meer oor die Troy High School in Fullerton, CA.

Hoofstad van Kanada: Waarom Ottawa?

Wat is die hoofstad van Kanada? Hoe het Ottawa hoofstad geword? Lees die geskiedenis van die hoofstad van Kanada en die hoofstede van elke provinsie.

Beste opsomming en analise: The Great Gatsby, hoofstuk 1

Lees hierdie volledige The Great Gatsby hoofstuk 1-opsomming om presies te leer wat gebeur, wat die gebeure beteken en hoe dit saamhang met die res van die roman.

Mission Hills Hoërskool | 2016-17-ranglys | (San Marcos,)

Vind staatsranglys, SAT / ACT-tellings, AP-klasse, webwerwe vir onderwysers, sportspanne en meer oor Mission Hills High School in San Marcos, CA.

Toelatingsvereistes vir Hamilton Technical College

8+ gratis ou amptelike SAT-oefentoetse

Wil u meer amptelike SAT-oefentoetse hê? Hier is gratis SAT-oefentoetse van vorige jare, wat as PDF's afgelaai kan word.