Vertex vorm: wat is dit? Hoe bereken u dit?

feature_vertexformparabolae

As u eers die kwadratiese formule en die basiese beginsels van kwadratiese vergelykings koud het, is dit tyd vir die volgende vlak van u verhouding met parabolas: leer meer oor hul hoekpuntvorm .

Lees verder vir meer inligting oor die parabool -hoekpuntvorm en hoe om 'n kwadratiese vergelyking van standaardvorm na hoekpuntvorm om te skakel.



funksie beeld krediet: SBA73 /Flickr

Waarom is Vertex -vorm nuttig? 'N Oorsig

Die hoekpuntvorm van 'n vergelyking is 'n alternatiewe manier om die vergelyking van 'n parabool uit te skryf.

Normaalweg sal u 'n kwadratiese vergelyking sien wat geskryf is as $ ax^2+bx+c $, wat as 'n grafiek 'n parabool sal wees. Vanuit hierdie vorm is dit maklik genoeg om die wortels van die vergelyking te vind (waar die parabool die $ x $ -as tref) deur die vergelyking gelyk aan nul te stel (of die kwadratiese formule te gebruik).

As u egter die hoekpunt van 'n parabool moet vind, is die standaard kwadratiese vorm baie minder nuttig. In plaas daarvan wil u u kwadratiese vergelyking in hoekpuntvorm omskakel.

Wat is Vertex -vorm?

Terwyl die standaard kwadratiese vorm $ ax^2+bx+c = y $ is, die hoekpuntvorm van 'n kwadratiese vergelyking is $ bi y = bi a ( bi x- bi h)^2+ bi k $.

In albei vorme is $ y $ die $ y $ -koördinaat, $ x $ is die $ x $ -koördinaat, en $ a $ is die konstante wat jou vertel of die parabool na bo ($+a $) of na onder wys ($ -a $). (Ek dink daaraan asof die parabool 'n bak appelmoes is; as daar 'n $+a is, kan ek appelmoes by die bak voeg; as daar 'n $ -a $ is, kan ek die appelmoes uit die bak skud.)

Die verskil tussen 'n parabool se standaardvorm en hoekvorm is dat die hoekpuntvorm van die vergelyking jou ook die hoekpunt van die parabool gee: $ (h, k) $.

Kyk byvoorbeeld na hierdie fyn parabool, $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $:

body_afineparabola

Op grond van die grafiek lyk die hoekpunt van die parabool ongeveer (-1.5, -2), maar dit is moeilik om presies te weet waar die hoekpunt is, net uit die grafiek. Op grond van die vergelyking $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $, weet ons gelukkig dat die hoekpunt van hierdie parabool $ (-4/3, -2) $ is.

Waarom is die hoekpunt $ (-4/3, -2) $ en nie $ (4/3, -2) $ (behalwe die grafiek, wat dit duidelik maak dat die $ x $-en $ y $ -koördinate van die hoekpunt is negatief)?

Onthou: in die hoekpuntvormvergelyking word $ h $ afgetrek en $ k $ word bygevoeg . As u 'n negatiewe $ h $ of 'n negatiewe $ k $ het, moet u seker maak dat u die negatiewe $ h $ aftrek en die negatiewe $ k $ byvoeg.

In hierdie geval beteken dit:

$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 = 3 (x- (- 4/3)) ^ 2 + (- 2) $

en dus is die hoekpunt $ (-4/3, -2) $.

U moet altyd u positiewe en negatiewe tekens nagaan as u 'n parabool in hoekpunt vorm skryf , veral as die hoekpunt nie positiewe $ x $ en $ y $ waardes het nie (of vir u kwadrantkoppe daar buite, as dit nie in kwadrant I is nie). Dit is soortgelyk aan die tjek wat u sou doen as u die kwadratiese formule oplos ($ x = {-b ± √ {b^2-4ac}}/{2a} $) en u moet seker maak dat u positief en negatiewe reguit vir jou $ a $ s, $ b $ s en $ c $ s.

Hieronder is 'n tabel met verdere voorbeelde van 'n paar ander parabool -hoekpunte, met hul hoekpunte. Let veral op die verskil in die $ (x-h)^2 $ deel van die parabool hoekpuntvormvergelyking wanneer die $ x $ koördinaat van die hoekpunt negatief is.

Parabool -draaikolk vorm

Vertex -koördinate

$ y = 5 (x-4) ^ 2 + 17 $

$ (4,17) $

$ y = 2/3 (x-8) ^ 2-1 / 3 $

$ (8, -1 / 3) $

$ y = 144 (x + 1/2) ^ 2-2 $

$ ( - 1/2, -2) $

$ y = 1.8 (x + 2.4) ^ 2 + 2.4 $

$ (- 2,4,2,4) $

Hoe om te skakel van 'n standaard kwadratiese vorm na 'n hoekvorm

As u meestal gevra word om kwadratiese vergelykings tussen verskillende vorme om te skakel, gaan u van standaardvorm ($ ax^2+bx+c $) na hoekpuntvorm ($ a (xh)^2+k $ ).

Die proses om u vergelyking van standaard kwadratiese na hoekpuntvorm om te skakel, behels die uitvoering van 'n stel stappe wat genoem word om die vierkant te voltooi. (Lees meer oor die voltooiing van die vierkant in hierdie artikel.)

Kom ons kyk na 'n voorbeeld van die omskakeling van 'n vergelyking van standaardvorm na hoekpuntvorm. Ons begin met die vergelyking $ y = 7x^2+42x-3/14 $.

Die eerste ding wat u wil doen, is om die konstante, of die term sonder 'n $ x $ of $ x^2 $ daaraan te skuif. In hierdie geval is ons konstante $ -3/14 $. (Ons weet dit is negatief $ 3/14 $ omdat die standaard kwadratiese vergelyking $ ax^2+bx+c $ is, nie $ ax^2+bx-c $.)

Eerstens neem ons die $ -3/14 $ en skuif dit na die linkerkant van die vergelyking:

$ y + 3/14 = 7x ^ 2 + 42x $

Die volgende stap is om die 7 (die $ a $ -waarde in die vergelyking) aan die regterkant uit te tel, soos volg:

$ y + 3/14 = 7 (x ^ 2 + 6x) $

Fantasties! Hierdie vergelyking lyk baie meer soos hoekpuntvorm, $ y = a (x-h)^2+k $.

Op hierdie stadium dink u miskien: 'Al wat ek nou hoef te doen, is om die $ 3/14 $ terug te skuif na die regterkant van die vergelyking, nie waar nie?' Helaas, nie so vinnig nie.

As u na 'n deel van die vergelyking binne die hakies kyk, sien u 'n probleem: dit is nie in die vorm van $ (x-h)^2 $ nie. Daar is te veel $ x $ s! So ons is nog nie heeltemal klaar nie.

Wat ons nou moet doen, is die moeilikste deel - die voltooiing van die vierkant.

Kom ons kyk na die $ x^2+6x $ deel van die vergelyking. Om $ (x^2+6x) $ in iets te laat lyk wat $ (xh)^2 $ lyk, sal ons 'n konstante aan die binnekant van die hakies moet byvoeg - en ons moet onthou om die konstante ook aan die ander kant van die vergelyking by te voeg (aangesien die vergelyking gebalanseerd moet bly).

Om dit op te stel (en maak seker dat ons nie vergeet om die konstante aan die ander kant van die vergelyking by te voeg nie), gaan ons 'n leë spasie skep waar die konstante aan weerskante van die vergelyking gaan:

$ y + 3/14 + 7 ($ $) = 7 (x ^ 2 + 6x + $ $) $

Let daarop dat ons aan die linkerkant van die vergelyking seker gemaak het dat ons ons $ a $ -waarde, 7, voor die ruimte insluit waar ons konstante gaan; dit is omdat ons nie net die konstante aan die regterkant van die vergelyking optel nie, maar ons vermenigvuldig die konstante met alles wat aan die buitekant van die hakies is. (As u $ a $ -waarde 1 is, hoef u nie hieroor bekommerd te wees nie.)

Die volgende stap is om die vierkant te voltooi. In hierdie geval is die vierkant wat u voltooi, die vergelyking binne die hakies - deur 'n konstante by te voeg, verander u dit in 'n vergelyking wat as 'n vierkant geskryf kan word.

Om die nuwe konstante te bereken, neem die waarde langs $ x $ (6, in hierdie geval), deel dit met 2 en vierkantig.

$ (6/2)^2 = (3)^2 = 9 $. Die konstante is 9.

Die rede waarom ons die 6 en vierkant halveer, is dat ons weet dat $ px+px in 'n vergelyking in die vorm $ (x+p) (x+p) $ (dit is waarna ons probeer kom) 6x $, dus $ p = 6/2 $; Om die konstante $ p^2 $ te kry, moet ons dus $ 6/2 $ (ons $ p $) neem en dit vierkantig maak.

Vervang nou die leë spasie aan weerskante van ons vergelyking met die konstante 9:

$ y + 3/14 + 7 (9) = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

$ y + 63 {3/14} = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

Faktoreer dan die vergelyking binne die hakies. Omdat ons die vierkant voltooi het, kan u dit as $ (x+{ some number})^2 $ bereken.

$ y + 63 {3/14} = 7 (x + 3) ^ 2 $

Laaste stap: skuif die nie- $ y $ waarde van die linkerkant van die vergelyking terug na die regterkant:

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

belangrike gedeeltes in die groot Gatsby

Baie geluk! U het u vergelyking suksesvol omgeskakel van standaard kwadratiese na hoekpuntvorm.

Die meeste probleme vra u nie net om u vergelykings van standaardvorm na hoekpuntvorm om te skakel nie; hulle wil hê dat u die koördinate van die hoekpunt van die parabool moet gee.

Om te voorkom dat ons deur tekenveranderinge mislei word, skryf ons die algemene hoekpuntvormvergelyking direk bokant die hoekpuntvormvergelyking wat ons pas bereken het:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

En dan kan ons maklik $ h $ en $ k $ vind:

$ -h = 3 $

$ h = -3 $

$ + k = -63 {3/14} $

Die hoekpunt van hierdie parabool is by koördinate $ (-3, -63 {3/14}) $.

Sjoe, dit was baie skommelende getalle! Gelukkig is die omskakeling van vergelykings in die ander rigting (van hoekpunt na standaardvorm) baie eenvoudiger.

body_shufflearound -getalle

Hoe om te skakel van 'n hoekvorm na 'n standaardvorm

Die omskakeling van vergelykings van hul hoekpuntvorm na die gewone kwadratiese vorm is 'n baie eenvoudiger proses: al wat u hoef te doen is om die hoekpuntvorm te vermenigvuldig.

Kom ons neem ons voorbeeldvergelyking van vroeër, $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $. Om dit in 'n standaardvorm te verander, brei ons net die regterkant van die vergelyking uit:

$$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $$

$$ y = 3 (x + 4/3) (x + 4/3) -2 $$

$$ y = 3 (x ^ 2 + {8/3} x + 16/9) -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} - {6/3} $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + 10/3 $$

Tada! U het $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $ suksesvol omgeskakel na sy $ ax^2+bx+c $ vorm.

liggaam_verteksvrae

Parabola Vertex Form Practice: Voorbeeldvrae

Om hierdie verkenning van hoekpuntvorm af te handel, het ons vier voorbeeldprobleme en verduidelikings. Kyk of u die probleme self kan oplos voordat u die verduidelikings lees!

#1: Wat is die hoekpuntvorm van die kwadratiese vergelyking $ x^2+ 2.6x+ 1.2 $?

#2: Skakel die vergelyking $ 7y = 91x^2-112 $ om in hoekpuntvorm. Wat is die hoekpunt?

#3: Gegewe die vergelyking $ y = 2 (x-3/2)^2-9 $, wat is die $ x $ -koördinate waar hierdie vergelyking met die $ x $ -as kruis?

#4: Vind die hoekpunt van die parabool $ y = ({1/9} x-6) (x+4) $.

body_vertexformsolutions

Parabola Vertex Form Practice: Solutions

#1: Wat is die hoekpuntvorm van die kwadratiese vergelyking $ { bi x^2}+ 2.6 bi x+ 1.2 $?

Begin deur die nie- $ x $ veranderlike aan die ander kant van die vergelyking te skei:

$ y-1.2 = x ^ 2 + 2.6x $

Aangesien ons $ a $ (soos in $ ax^2+bx+c $) in die oorspronklike vergelyking gelyk is aan 1, hoef ons dit nie hier aan die regterkant uit te tel nie (alhoewel u kan skryf as u wil $ y-1.2 = 1 (x^2+2.6x) $).

Verdeel dan die $ x $ koëffisiënt (2.6) deur 2 en vierkantig, en voeg die gevolglike getal by beide kante van die vergelyking:

$ (2.6 / 2) ^ 2 = (1.3) ^ 2 = 1.69 $

$ y-1.2 + 1 (1.69) = 1 (x ^ 2 + 2.6x + 1.69) $

Faktoreer die regterkant van die vergelyking binne die hakies:

$ y-1.2 + 1.69 = (x + 1.3) ^ 2 $

Kombineer uiteindelik die konstantes aan die linkerkant van die vergelyking en skuif dit dan na die regterkant.

$ y-1.2 + 1.69 = (x + 1.3) ^ 2 $

$ y + 0.49 = (x + 1.3) ^ 2 $

Ons antwoord is $ y = (x+1.3)^2-0.49 $.

#2: Skakel die vergelyking $ 7 bi y = 91 bi x^2-112 $ om in hoekpuntvorm. Wat is die hoekpunt?

As u 'n vergelyking in hoekpuntvorm omskakel, wil u hê dat die $ y $ 'n koëffisiënt van 1 het, dus die eerste ding wat ons gaan doen, is om beide kante van hierdie vergelyking met 7 te deel:

$ 7y = 91x^2-112 $

$ {7y}/7 = {91x^2}/7-112/7 $

$ y = 13x ^ 2-16 $

wat is die hoogste gpa

Bring dan die konstante na die linkerkant van die vergelyking:

$ y + 16 = 13x ^ 2 $

Bereken die koëffisiënt van die $ x^2 $ -getal (die $ a $) aan die regterkant van die vergelyking

$ y + 16 = 13 (x ^ 2) $

Normaalweg moet u die vierkant aan die regterkant van die vergelyking binne die hakies voltooi. $ X^2 $ is egter reeds 'n vierkant, dus u hoef niks te doen behalwe om die konstante van die linkerkant van die vergelyking terug te skuif na die regterkant nie:

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $.

Nou om die hoekpunt te vind:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $

$ -h = 0 $, dus $ h = 0 $

$+k = -16 $, dus $ k = -16 $

Die hoekpunt van die parabool is $ (0, -16) $.

#3: Gegewe die vergelyking $ bi y = 2 ( bi x-3/2)^2-9 $, wat is (is) die $ bi x $ -koördinaat (s) van waar hierdie vergelyking met die $ bi x $ -as?

Omdat die vraag u vra om die $ x $ -afsnit (te) van die vergelyking te vind, is die eerste stap om $ y = 0 $ in te stel.

$ y = 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $.

Daar is 'n paar maniere om van hier af te gaan. Die skelm manier is om die feit te gebruik dat daar reeds 'n vierkant in die hoekpuntvergelyking in ons voordeel is.

Eerstens skuif ons die konstante na die linkerkant van die vergelyking:

$ 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $

$ 9 = 2 (x-3/2) ^ 2 $

Vervolgens deel ons beide kante van die vergelyking deur 2:

$ 9/2 = (x-3/2) ^ 2 $

Nou, die skelm deel. Neem die vierkantswortel van beide kante van die vergelyking:

$ √ (9/2) = √ {(x-3/2) ^ 2} $

$ ± 3 / {√2} = (x-3 /2) $

$ ± {{3√2} / 2} = x- {3/2} $

$ {3√2}/2 = x- {3/2} $ en $ {-3√2}/2 = x- {3/2} $

$ x = 3/2+{3√2}/2 $ en $ x = 3/2- {3√2}/2 $

Alternatiewelik kan u die wortels van die vergelyking vind deur eers die vergelyking van hoekpuntvorm na die standaard kwadratiese vergelykingvorm om te skakel, en dan die kwadratiese formule te gebruik om dit op te los.

Vermenigvuldig eers die regterkant van die vergelyking:

$ 0 = 2 (x- {3/2}) ^ 2-9 $

$ 0 = 2 (x^2- {6/2} x+{9/4})-9 $

$ 0 = 2x ^ 2-6x + {9/2} -9 $

Kombineer dan die volgende terme:

$ 0 = 2x ^ 2-6x-9/2 $

Op hierdie punt kan u óf besluit om self die faktorering te probeer beproef deur foute te probeer, óf die vergelyking in die kwadratiese formule te koppel. As ek 'n koëffisiënt langs die $ x^2 $ sien, gebruik ek gewoonlik die kwadratiese formule eerder as om alles reguit in my kop te probeer hou, so laat ons dit hier deurmaak.

Onthou dat $ 2x^2-6x-9/2 $ in die vorm van $ ax^2+bx+c $ is:

$ x = {-b ± √ {b^2-4ac}}/{2a} $

$ x = {- (- 6) ± √ {(- 6) ^ 2-4 (2) (- 9/2)}} / {2 (2)} $

$ x = {6 ± √ {36-4 (-9)}} / 4 $

$ x = {6 ± √ {36 + 36}} / 4 $

$ x = {6 ± √ {72}} / 4 $

$ x = {6+6√2}/4 $ en $ x = {-6-6√2}/4 $

$ x = 3/2+{3√2}/2 $ en $ x = 3/2- {3√2}/2 $

#4: Soek die hoekpunt van die parabool $ bi y = ({1/9} bi x-6) ( bi x+4) $.

Die eerste stap is om $ y = ({1/9} x-6) (x+4) $ uit te vermenigvuldig sodat die konstante apart is van die terme $ x $ en $ x^2 $.

y = {1/9} {x ^ 2} + (- 6+ {4/9}) x-24

Beweeg dan die konstante na die linkerkant van die vergelyking.

$ y + 24 = {1/9} {x ^ 2} - {50/9} x $

Bereken die $ a $ -waarde aan die regterkant van die vergelyking:

$ y + 24 = {1/9} (x ^ 2-50x) $

Skep 'n spasie aan elke kant van die vergelyking waar u die konstante byvoeg om die vierkant te voltooi:

$ y + 24 + 1/9 ($) = {1/9} (x ^ 2-50x + $) $

Bereken die konstante deur die koëffisiënt van die term $ x $ in twee te deel en dit dan in kwadraat te plaas:

$ (- 50/2) ^ 2 = (- 25) ^ 2 = 625 $

Voeg die berekende konstante terug in die vergelyking aan beide kante om die vierkant te voltooi:

$ y + 24 + {1/9} (625) = {1/9} (x ^ 2-50x + 625) $

Kombineer dieselfde terme aan die linkerkant van die vergelyking en faktor die regterkant van die vergelyking tussen hakies:

$ y + {216/9} + {625/9} = {1/9} (x-25) ^ 2

$ y + {841/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

Bring die konstante aan die linkerkant van die vergelyking terug na die regterkant:

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

Die vergelyking is in hoekpuntvorm, woohoo! Om nou die hoekpunt van die parabool te vind:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

$ -h = -25 $ dus $ h = 25 $

$+k =-{841/9} ≈-93.4 $ (afgerond)

Die hoekpunt van die parabool is by $ (25, -93.4) ​​$.

body_parabolaquadraticform

Interessante Artikels

Hoe om 'n Spaanse beursfonds-toekenning te wen

Doen u aansoek om 'n beurs van die Hispanic Scholarship Fund? Hier is 'n volledige gids, insluitend hoe om aansoek te doen, sperdatums en strategieë om te wen.

Toelatingsvereistes vir Ramapo College of New Jersey

23 Tipes dokters en wat hulle doen

Weet u nie watter mediese spesialiteit u moet kies nie? Kyk na ons lys dokters vir idees, plus wenke om die regte spesialiteit vir u te vind.

Hoeveel buitemuurse aktiwiteite het u nodig?

Hoeveel buitemuurse aktiwiteite vir universiteitsaansoeke het u nodig? Ons het uiteengesit wat te veel is, wat te min is en hoe om vir u aansoeke te beplan.

Mills College SAT-tellings en GPA

Toelatingsvereistes aan die Universiteit van Idaho

Toelatingsvereistes vir Indiana State University

Roosevelt Universiteit SAT Scores en GPA

Die 17 beste beeldende kunskolleges in die VSA

Woon een van hierdie 17 beste kunskolleges by, insluitend gespesialiseerde kunsskole en groot liberale kunskolleges, om 'n uitstekende beeldende kunsopleiding te kry.

Toelatingsvereistes vir Stony Brook

Hoeveel vrae kan u mis vir 'n perfekte ACT-telling?

Streef u na 'n perfekte 36 ACT-telling? U moet na perfeksie mik, maar u kan nog steeds 'n paar vrae mis. Hier is presies hoeveel vrae u vir 'n 36 ACT verkeerd kan kry.

Uitspraak saak oor ACT Engels: wenke en praktykvrae

Voornaamwoord is 'n ACT -Engelse grammatika -reël wat baie studente in die alledaagse lewe misbruik. Lees my wenke sodat u u telling kan verbeter.

Toelatingsvereistes vir Virginia Military Institute

229 Algemene Engelse werkwoorde met voorbeelde

Op soek na 'n lys van werkwoordwoorde? Ons werkwoorde lys bevat al drie tipes werkwoorde en voorbeelde.

Hoeveel keer kan u die WET neem?

Hoeveel keer moet u die ACT neem? Lees hier om algemene sleutelfoute in die herneem van die ACT te leer, en hoeveel keer om weer te toets.

Hoërskool Mira Mesa | 2016-17 Ranglys | (San Diego,)

Vind staatsranglys, SAT/ACT -tellings, AP -klasse, onderwyserswebwerwe, sportspanne en meer oor die Hoërskool Mira Mesa in San Diego, CA.

SAT -tellings en GPA van die Universiteit van Arkansas

10 ACT -telling: is dit goed?

Beste analise: oë van TJ Eckleburg in The Great Gatsby

Vra u wat die Dr. TJ Eckleburg-oogsimbool beteken? Ons verduidelik die belangrikheid van die advertensiebord in The Great Gatsby, met aanhalings en karakteranalise.

Georgia Southern SAT -tellings en GPA

Geheime waarhede van SAT / ACT-voorbereidingsmetodes: voor- en nadele van elkeen

U weet dat dit 'n goeie idee is om voor te berei op die SAT en ACT. Vir die meeste studente is dit per slot van rekening die mees doeltreffende manier om hul kollege-toelatingskanse te vergroot. Daar is egter soveel maniere om die toets daarvoor voor te berei - wat is die beste manier vir u? Dit is duidelik dat sommige metodes beter sal wees as ander, maar dit is ook so dat sommige metodes oor die algemeen nie baie goed is nie.

Hoe om 'n A + argumentatiewe opstel te skryf

Skryf 'n argumentatiewe opstel? Wat is 'n goeie onderwerp? Lees hoe om 'n wonderlike argumentatiewe opstel te skryf en ons kundige voorbeelde te lees.

Bucknell Toelatingsvereistes

20 Top Party -kolleges: kan u nog steeds 'n goeie opvoeding kry?

Wil u een van die beste partytjie -kolleges bywoon? Ons het die grootste partytjie -skole gelys en verduidelik hoe u pret en akademici in 'n partytjie -skool kan balanseer.

Wat is die reënboogkleurorde? Begrip van ROYGBIV

Wat is die kleure van die reënboog in volgorde? Leer die geskiedenis agter ROYGBIV en hoe die reënboogkleurorde in die toekoms kan verander.